質問
2020/06/23 14:07

合成インピーダンスの周波数と無関係にする条件がわかりません。虚部を0にすることを試みたのですが結局実部側に各周波数が残ってしまい上手くいきませんでした。

電験二種 電験一種


回答 4 件
NobodyDid PRO 電験一種、一陸技
回答
2020/06/24 20:34

実際に計算はしていないけど、
実部の2乗+虚部の2乗がωを含まなければよい
のでは?

イルカさんのスマートな解法で解いてみました(清書しただけです)。私のゴリゴリ計算は大変です。
ω=0 の時、Z=R、ω=∞の時、Z=Rとなる。つまりR=Zなので、Zを求めればRが求まる。
計算の省力化のためXL=+X、XC=-Xの場合を考える。←ここ重要(変数をX一つにする)
この時、ωL=1/(ωC)→ω=1/√(LC)…④よく知られた共振周波数の式。

ここから本番
①抵抗とLの並列部分 +RX/(R+X)
②抵抗とCの並列部分 -RX/(R-X)
③直列抵抗Zは ①+②で、
Z=-2RX^2/(R^2-X^2) これがRに等しい。
R=-2RX^2/(R^2-X^2) これを変形する。
R^2=-X^2 → R=-jX (∵Xは+jかつR>0なので)
Xに④を代入して、R=√(L/C)

十分性の検証
Z=-2RX^2/(R^2-X^2) に、X=jωL=j√(L/C)、R=√(L/C)を代入する。
Z=+2{√(L/C)}(L/C)/{(L/C)+(L/C)})
=√(L/C) となり、Zはωに無関係となる。この時、Z=Rも成立する。

別解(共振条件を使わない解)
ω=0 の時、Z=R、ω=∞の時、Z=Rとなる。つまりR=Zなので、Zを求めればRが求まる。←ここ同じ
ω=1とし(※)、LのリアクタンスをL(jを含む)、Cのリアクタンスを 1/C (jを含む)とする。←ここ違う
Z=RL/(R+L)-(R/C)/(R-1/C)) = R^2(CL-1)/{(R+L)(CR-1)} ここでZ=Rなので、
R=R^2(CL-1)/{(R+L)(CR-1)} これを両辺をRで割って、展開整理して、
CR^2-L=0 ∴R=√(L/C)…答 ※共振は考えない

イルカ PRO 電験二種
回答
2020/06/24 22:41

これは、やり方自体は5分くらいで思いつきましたが、最近はプログラミングの勉強などをしていたので、計算ミスをしまくって時間がかかってしまいました。

ヒントは、周波数は幾つでもいいということです。

つまり、答えがあるとしたらこの解じゃないとダメだというのを見つけて、その解があってるかどうか確かめるというやつです。

いわゆる必要条件から攻めるというやつですね。
1.周波数が0と無限大の時、合成インピーダンスはRになる。
ということは、周波数に依存しないので合成インピーダンスはRでなければならない!
2.テキトーな値で実験してR,C,Lの関係を求める
3.実際に代入して十分性のチェックをする

3は本問の場合答えがある!と断言しているのでもしかしたら不要かもしれませんが、面白いのでやってみましょう!

みやもん 第一種電気工事士、第二種電気工事士、第三者電気主任技術者
回答
2020/06/27 05:36

「合成インピーダンスをK(定数)とおいて実数部と虚数部が等しい」として条件を導きますがそもそもRLC回路の合成インピーダンスは周波数の関数になります。それは、Lは周波数に比例し、Cは周波数に反比例しているからです。しかしある周波数の下でLとCの値が打ち消しあいます。この周波数を共振周波数といいます。つまり合成インピーダンスがRのみになりこれは周波数に無関係な定数です。これを考慮してもう一度先に回答していただけている方たちの解答を見ながら解いてみるとできると思います。

みやを PRO メーカー技術職(生産技術とか計測とか)、電験2種、電気通信主任(いずれもペーパーです)
回答
2020/06/30 01:17

イルカさんの方法が簡単そうで、試験を解くには実践的ですね。

正攻法としては合成インピーダンスの角周波数による偏微分∂Z/∂ωを=0として解くやり方もありますが、微分の知識が必要になります。


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