質問
2020/07/06 18:56

電験二種の勉強をそろそろ始めようかなと思うのですが、その前に数学を固めないといけません。できれば、机上の空論状態ではなく、しっかりとしたイメージを持ちたいのですが、それにあたって1番困難かと思われるのが、オイラーの公式e^iπ=-1の直感的理解です。いろいろ自分なりに考えてみて得たイメージというのが、まず、ネットなどでも挙げられている角度θを表す軸、虚軸Im、実軸Reをそれぞれが互いに直角になるようなグラフを考え、cosθの値を実軸に、sinθの値を虚軸にとり、最後にθ軸を奥から手前方向が正方向になるように取るように考えます。そして、それぞれcosθ+i sinθの値を連続的にプロットしていくことを考えるわけですが、こう考えたときに自分なりに探り出した疑問がいくつかあって、
① e^iπのi乗の部分のこのグラフでの振る舞いって、 sinθの値をθ軸ーRe軸平面から sinθの値をIm軸方向に向けて上げることであってますか?
② 結局、このe^iπの値ってグラフ上では何として表されているのですか?自分はもしかしたら、θ軸の奥行き、と、それぞれのRe、Im軸のそれぞれの成分を、Re軸はθ軸ーIm軸平面に垂直に下ろした高さ、Im軸はθ軸ーRe軸平面に垂直下ろした横の長さをそれぞれかけて、任意のθまで足し合わせた"体積"として表される値、なのかなと思うのですが、いったいどうなのでしょうか?わかる方、お願いします。

電験二種

回答 2 件
NobodyDid PRO 電験一種、一陸技
回答
2020/07/06 19:43

①オイラーの等式:e^(jπ)=-1 (πは定数)と言うのと、
②オイラーの公式:e^(jθ)=cosθ+jsinθ(θは変数) があります。
数学でよく使われるのは②の公式の方です。
図形的には実軸、虚軸があれば十分で、【角度θを表す軸】は不要です。
原点を中心とする、半径=1の円の円周上の点です。
体積ではありません。

詳しくはwikiで オイラーの公式 を調べてください。

みやを PRO メーカー技術職(生産技術とか計測とか)、電験2種、電気通信主任(いずれもペーパーです)
回答
2020/07/06 23:37

質問者さんの疑問はオイラーの公式 e^jθ=cosθ+jsinθ (θ=πのときe^jπ=-1)がなぜ成り立つのかということを直観的に理解したいということ帰結するのだと思いますが(違うのかもしれませんが)、私もそこは答えれれる自信はなく、この関係式は数学(の微分積分を扱う分野)で導くことができて、その成果として結果を受け入れるスタンスをとってます。

少なくとも電験で扱う範囲のでの複素数(及び虚数)は正弦波交流の計算する都合として導入してるもので、物理的に直接当てはまるが実体はないともいえます。
とはいえそれを言っては身もふたもないので、何かしら直観的イメージを持てるようにすることは大事で、複素数は幸い実部と虚部で二つの実数であらわせるので、それらをx-y平面のように実軸(Re)-虚軸(Im)の複素平面を考える方法がありこれは実際に有用です。
e^jθの場合はその複素平面0+j0を中心とした半径1の円(単位円)上の点になります。θはその場合実軸との間の角度になります。

そして質問でも言及されてるように複素平面の実軸(Re)、虚軸(Im)及び垂直なθ軸の3次元座標上の振る舞いとして考えることもできます。その前提で①②についてですが、、

まず、① はe^jθ=cosθ+jsinθ の振る舞いの質問だと思いますが、、e^jθは前述の3次元座標上の振る舞いとして考えると、θ軸方向に周期2πで回転しながら伸びていく「渦巻き状」の軌道(3次元の軌道)になります。

その軌道はをθ-Re軸平面に投射する(虚軸と視線を並行にして観察する)とcosθの波形になり、θ-Im軸平面に投射(実軸に視線を並行にして観察する)とsinθの波形にります。

② はe^jθ=cosθ+jsinθ のグラフ上の意味だと思うのですが、、これはグラフの取り方にもよったりするので一意にいえるもはないとは思いますが、前述の複素平面だと単位円上の1点、θ軸を加えた3次元座標でみると渦巻き状軌道の一点とぐらいしか言えないかと思います。

(質問意図をはずしていたらすいません)

いずれにしても、複素数(及び虚数)の概念が入ってくるにしても三角関数(sin,cos)と指数関数との間にe^jθ=cosθ+jsinθという関係があることが、正弦波(三角関数)の交流を複素数で扱う背景にあることを知っておくのは重要だと思います。


パリピ28号 電験三種 取得
2020/07/06 23:47

大変丁寧な回答ありがとうございます。メーカーの技術職の方ということで、なんとなく文面以外の説得力も感じることができ、嬉しく思います。ぜひ、参考にさせて戴きたいです。


みやを PRO メーカー技術職(生産技術とか計測とか)、電験2種、電気通信主任(いずれもペーパーです)
2020/07/07 07:16

θ→ωtとして e^jωt=cosωt+jsinωtの時間tによる振る舞いを表現してみた動画を以前作ったことのでリンクを貼っときます。

https://stat.ameba.jp/user_images/20200318/19/a-rocky-utsu/42/87/g/o0480048014730035782.gif

θ軸がt軸になっているのが違いますが基本的には同じイメージです。
t-Re平面に投射したものがcosωt(t-Im平面だとsinωt)の波形になってますが、ここに交流を複素数で扱う利点があったりします。


パリピ28号 電験三種 取得
2020/07/07 12:02

素晴らしいの一言です!やっぱり、こう考えていくと、e^iπっていうのは、異なる物理量を足し算した結果を表す、いわゆる"ベクトル和の1つの表示方法"(あるいは計算するのに便利な指数関数としての表示方法)程度の解釈に留めておくのがいちばんべすとであったりするもんなのかな、だと思っていきました。貴重な動画とお返事、ありがとうございました。


NobodyDid PRO 電験一種、一陸技
2020/07/08 06:59

①e^jπ :複素平面上の点(-1,0)、ただ一点。
②e^jθ :複素平面上の点(0,0)を中心とする半径1の円周上の一点。実軸から測った角度がθ。
③e^jθt:複素平面上の点(0,0)を中心とする半径1の円周上を、角速度θで回っている点。
上記3つの違いを正しく理解してください。


パリピ28号 電験三種 取得
2020/07/08 07:22

詳細な違いに関するご指導ありがとうございます。これから教えていただいたことを意識して二種の問題に取り組んでいきたいなと思います。


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